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이 글은 KOCW의 한양대학교 선형대수 ‘15강 행렬의 판별식’ 강의내용을 복습하기 위해 Gilbert Strang의 Linear Algebra and Its Applications 4.1장, 4.2장과 강의노트를 기반으로 작성한 글입니다.

  • 제가 필요한 부분 위주로 확인하면서 정리하고 있어 글에 덜 작성된 부분이 있을 수 있습니다.
  • 글 작성 후 원 서적의 내용이 수정되거나 내용을 이해하기 위한 개인적인 설명이나 해석이 있을 수 있습니다. 되도록 원 서적을 참고해주시길 바랍니다.
  • 잘못된 부분이 있다면 댓글이나 그 외 편하신 방법으로 알려주시면 감사하겠습니다.

Introduction

Four main uses of determinants

  1. Invertibility test
    • $A$의 determinant가 zero이면 $A$는 singular하다.
    • $det A \ne 0$이면 $A^{-1}$이 존재한다. ($A$가 invertible)
  2. A의 determinant는 n-dimensional space 안 box의 volumne과 같다.
    • e.g., $\int!!\int!!\int f(x,y,z)dV$의 little cube $dV = dxdydz$를 cylindrical coordinate로 바꿀 때, $$ \begin{matrix} x &=& rcos\theta \ y &=& rsin\theta \ z &=& z \end{matrix} $$
    • Volume element는 $Jdrd\theta dz$가 된다.
    • $J$는 Jacobian determinant로 stretching factor 역할을 한다. $$ J = \begin{vmatrix} {\partial x \over \partial r} & {\partial x \over \partial\theta} & {\partial x \over \partial z} \ {\partial y \over \partial r} & {\partial y \over \partial\theta} & {\partial y \over \partial z} \ {\partial z \over \partial r} & {\partial z \over \partial\theta} & {\partial z \over \partial z} \ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} cos\theta & rsin\theta & 0 \ sin\theta & rcos\theta & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = r \quad\text{(for cylindrical)} $$
  3. determinant $=$ $\pm$ (product of the pivots)
    • Elimination의 순서와 상관 없이 pivot의 곱의 절댓값은 일정하다.
    • Sign 변화는 row exchange 과정에서 생긴다.
  4. Determinant로 $A^{-1}b$에서 $b$의 각 element의 영향($x_i$)을 측정할 수 있다. : Cramer’s rule

Properties of the Determinant

Determinant는 가장 간단한 세 개의 특성으로 정의될 수 있다.

  • 예시는 2 by 2 matrix case $$ det \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix} = \begin{vmatrix} a & b \ c & d \end{vmatrix} = ad- bc $$
  1. Identity matrix의 determinant는 1이다.

$$ detI = 1 \quad \begin{vmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \qquad and \qquad \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 $$

  1. 두 개의 row를 서로 바꾸면 determinant의 sign이 바뀐다.

$$ \begin{vmatrix} c & d \ a & b \end{vmatrix} = cb-ad = - \begin{vmatrix} a & b \ c & d \end{vmatrix} $$

  1. Determinant는 첫 번째 row에 linearly depend하다.

$$ \begin{matrix} \text{Add vectors in row 1} \qquad & \begin{vmatrix} a+a’ & b+b’ \ c & d \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b \ c & d \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a’ & b’ \ c & d \end{vmatrix} \ \text{Multiply by t in row 1} \qquad & \begin{vmatrix} ta & tb \ c & d \end{vmatrix} = t \begin{vmatrix} a & b \ c & d \end{vmatrix} \end{matrix} $$

  • 모든 row의 연산이 아니라 첫 번째 행의 연산에만 해당된다는 것에 주의해야한다.
    • $det(A+B) \ne det(A)+det(B)$
    • $det(tA) \ne tdet(A)$

위의 세 basic rulerty로 부터 additional한 property를 도출해낼 수 있다.

  1. $A$의 row중 두 개가 같으면 $detA = 0$이다. (by rule 2)
  • 같은 두 개의 row를 바꾼 matrix를 $A’$이라고 했을 때,
  • Prop. 2에 의해서 $det A’ = -det A$, $A=A’$이므로 $detA = detA’$
  • $detA=0$
  1. 하나의 row에서 다른 row의 multiple을 빼더라도 determinant는 변하지 않는다. (by rule 3)
  • determinant는 row operation에도 변하지 않는다. $$ \begin{vmatrix} a - lc & b - ld \ c & d \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b \ c & d \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} -lc & -ld \ c & d \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b \ c & d \end{vmatrix} $$
  1. $A$에 rows of zero가 있으면 $detA=0$이다.

$$ detA = \begin{vmatrix} 0 & 0 \ c & d \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & 0 \ c & d \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 & 0 \ c & d \end{vmatrix} = det A + det A $$

  1. $A$가 triangular matrix이면 $detA$는 diagonal entries $a_{11}, a_{22}, \cdots, a_{nn}$의 곱이다.
  • proof : 모든 diagonal entry가 0이 아니면 Gaussian elimination을 이용해 모든 off-diagonal element를 제거할 수 있다. 이 때 rule 5에 의해 determinant는 변하지 않는다.
  • $detD = (a_{11}a_{22} \cdots a_{nn}) detI = a_{11}a_{22} \cdots a_{nn} \quad \text{for diagonal matrix}$ (by rule 3)
  1. $A$가 singular이면 $detA = 0$이다. $A$가 non-singular(invertible) 이면 $detA \ne 0$이다.
  • $A$가 singular이면 elimination 결과 $U$에 zero row가 생긴다. $detA = detU = 0$
  1. $det(AB) = det(A) \cdot det(B)$
  • For particular case $detA^{-1} = {1 \over detA}$
  • 증명은 $d(A) = det(AB) / det(B)$를 정의한 뒤 결과가 $det(A)$와 같음을 밝히면 된다. 자세한 내용은 서적 참고
  1. $det(A^T) = det(A)$
  • Factorization을 하면 $PA=LDU$이다. 양 변의 determinant를 구하면 rule9에 의해 다음과 같다 $$ detPdetA = detLdetDdetU $$
  • $PA = LDU$를 transposing하여 determinant를 구하면 $$ detA^TdetP^T = detU^TdetD^TdetL^T $$
  • $L, U, L^T, U^T$의 determinant는 모두 1이고, $D=D^T$이다.
  • $P$의 경우 $PP^T=1$이므로 $detTdetP^T = 1$로 $detP$와 $detP^T$는 1이나 -1로 같다.
  • 결과적으로 $detA = detA^T$이다.

2020.06.26 11:55 작성. 2020.07.10 최종 수정.